Astronavigation
Wieso ...?
Nein, diese Seite hat nichts mit dem Rest der Website zu tun, der sich mit dem Radfahren durch Amerika befasst. Auf der Radtour wird man seine Position nicht nach den Sternen bestimmen. Dafür gibt es Straßenschilder und Apps.
Aber ich habe noch viele andere Interessen. Eine davon ist Vermessung und Navigation. Ich dachte, es ist der Mühe wert, hier ein Experiment zu beschreiben, das ich im April 2020 gemacht habe. Kann man seine Position auf der Erde auf 100 Meter genau nach den Sternen bestimmen?
Das Prinzip
Seit Jahrhunderten finden Seeleute ihren Weg über den Ozean mit Hilfe der Sterne, einem Sextanten und einer Uhr. Sie machen daraus gerne eine Art geheime Wissenschaft, aber das Prinzip der Astronomischen Navigation ist ungeheuer einfach.
Dieses hervorragende Bild aus der Wikipedia sagt schon alles: Die gestrichelte rote Linie ist die Verbindung zwischen dem Stern und dem Erdmittelpunkt. Diese Linie schneidet die Erdoberfläche im Punkt Z. Dort steht der Stern im Zenit, also 90° über dem Horizont.
Quelle: Wikipedia, Lizenz: Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
Wir stehen aber nicht im Punkt Z, sondern (das blaue Männchen) im unbekannten Ort O. Der Winkel zwischen Z und O, gemessen im Erdmittelpunkt, ist φ (Phi). Das blaue Männchen hat unter sich den Erdmittelpunkt, über sich den Zenit. Das ist die graue Linie. Die Richtung zum Stern ist für den blauen Mann die rote Linie. Da der Stern unendlich weit weg ist (zumindest im Vergleich zur Größe der Erde), sind die roten Linien durch Z und durch O parallel zueinander. Deshalb ist der Winkel φ (der Abstand, den der Stern für den blauen Mann vom Zenit hat) gleich dem Winkel φ, den wir im Erdmittelpunkt zwischen Z und O messen.
Der Mann in O sieht also den Stern um den Winkel φ vom Zenit entfernt. Dasselbe gilt aber auch für alle anderen Beobachter, die in den Punkten O' stehen (die gelbe, gepunktete Linie). Warum ist das so? Ganz einfach: Stellen Sie sich vor, die Erde oben im Bild wird langsam gedreht, und zwar um die Achse Erdmittelpunkt-Stern (die gestrichelte rote Linie). Dann nimmt jeder der Beobachter in O' nach und nach den Platz des blauen Mannes ein, und man sieht: Für alle ist φ = φ. Alle auf dem gelben Kreis sehen also den Stern gleich weit vom Zenit entfernt, oder mit anderen Worten, gleich hoch über dem Horizont.
Wie kann ich φ jetzt messen? Das geht mit einem Theodoliten (dazu unten mehr). Oder ich messe mit einem Sextanten die Höhe eines Gestirns über dem Horizont. Da der Zenit definitionsgemäß 90° über dem Horizont ist, ist φ = 90° - gemessene Höhe.
Und woher kenne ich den Ort Z, den Bildpunkt, in dem der Stern im Zenit steht? Dazu brauche ich eine sekundengenaue Uhr, denn der Punkt Z bewegt sich durch die Rotation der Erde sehr schnell über die Erdoberfläche. Und wenn ich sage, "sehr schnell", meine ich bis zu 460 Meter pro Sekunde. Jeder Fehler in der Uhrzeit verfälscht die berechnete Position um diesen Betrag. Das ist der Grund, warum im 18. Jahrhundert die Entwicklung eines genauen, zuverlässigen Schiffschronometers so ein Riesenfortschritt war. Die sehr lesenswerte Geschichte dahinter finden Sie in dem Buch "Längengrad" von Dava Sobel.
Und woher kenne ich die Position des Ortes Z, in dem mein Stern im Zenit steht? Dazu brauchen wir einen spitzen Bleistift und das Nautische Jahrbuch. Dort sind die Örter von Sonne, Mond, Planeten und Sternen Tag für Tag und Stunde für Stunde vertafelt.
Natürlich gibt es das auch kostenlos im Internet, also meist nicht auf hoher See:
Wer gar nicht selber rechnen mag, kann natürlich auch entsprechende Software benutzen, zum Beispiel die NauticTools oder die hervorragenden Navigational Algorithms. Beide sind kostenfrei.
So, jetzt kenne ich den Ort "Z", den Ort, an dem der Stern zur Zeit meiner Messung im Zenit stand. Ich befinde mich auf einem der vielen Orte O' auf einem Kreis um Z. Der Radius dieses Kreises läßt sich aus dem Winkel φ und dem Erdradius leicht berechnen. Aber wo auf diesem Kreis befinde ich mich?
Das ist leicht zu beantworten: Ich messe einfach einen zweiten und zur Sicherheit einen dritten Stern an. Für jeden Stern bestimme ich den Ort Z und den Kreis O'. Da, wo die Kreise sich schneiden, bin ich.
In diesem Bild (Dank an Google Earth) habe ich mit dem Sextanten zwei Sterne angemessen. Diese stehen gerade in den Punkten Z1 bzw. Z2 im Zenit. Um diese Punkte schlage ich die zwei Kreise mit den Radien Phi1 und Phi2. Diese entsprechen den gemessenen Zenitdistanzen. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte. Dann muss ich nur noch herausfinden, ob ich mich in Europa oder in im Südatlantik befinde. Wenn ich mir nicht sicher bin, messe ich einen dritten Stern an. Das ist schon das ganze Prinzip der astronomischen Navigation. Für alle, die es ausführlicher nachlesen wollen, hier ein paar Buchtipps: Links das Buch von Bobby Schenk, der die Astronavigation "ohne Formeln" erklären will, rechts ein weit ausführlicheres Werk, das auch so abgelegene Gebiete wie das Monddistanzverfahren besucht.
Sextanten
Sextanten gibt es in allen Genauigkeits- und Preisklassen, angefangen bei diesem Modell aus Karton zum selber bauen für gut 20 €. Ich habe es ausprobiert, es funktioniert wirklich! Der Kartonsextant ermöglicht Ablesungen bis auf 5 Bogenminuten genau und ist gut geeignet zum Beispiel für den Schulunterricht.
Die nächstbessere Variante ist der Davis Mark 3, ein Einsteiger- und Übungsmodell aus Kunststoff. Dazu passend gibt es sogar einen künstlichen Horizont und ein Anleitungsbuch, das verspricht, einen notfalls sicher über jeden Ozean zu bringen.
Topmodelle wie dieses kosten viele hundert Euro. Dafür haben sie dann auch ein eingebautes Fernrohr mit 4-facher Vergrößerung und ein Trommelmikrometer. Damit kann man die gemessene Höhe des Gestirns über dem Horizont bis auf 10 Bogensekunden genau ablesen. Der Sextant misst also viel genauer, als es der seekranke Seemann bei Wellengang vom Deck seiner schwankenden Yacht überhaupt einzustellen vermag.
Das Experiment
Mich interessiert: Welche Genauigkeit ist mit Amateurmitteln in der astronomischen Navigation erreichbar? Kann ich meine Position vielleicht sogar auf 100 Meter genau bestimmen?
Mit einem Sextanten auf einem schwankenden Schiff kann die Höhe der Sonne oder eines Sterns über dem Horizont auf etwa 1' (eine Bogenminute) genau gemessen werden. Die Zeit der Beobachtung wird mit einer Stoppuhr auf 1 Sekunde genau gemessen. Daraus ergeben sich Genauigkeiten für die berechnete Position von 1–2 Seemeilen. Das genügt, um bei einer Atlantiküberquerung Amerika zu finden. Ich will es aber genauer wissen.
Das Instrument
Als Mitinhaber eines Vermessungsbüros verfüge ich zum Glück über eine Totalstation. Eine Totalstation ist ein Theodolit, der zusätzlich über einen elektrooptischen Entfernungsmesser sowie eine integrierte Rechen- und Speichereinheit verfügt. Die Totalstation ist heute das wichtigste Werkzeug des Landvermessers. Damit können im Felde und auf der Baustelle schnell, genau und zuverlässig Punkte abgesteckt und aufgenommen werden.
Ich habe ein Leica TCRA 1102 plus verwendet. Dieses Instrument hat ein Fernrohr mit 30-facher Vergrößerung. Das Fadenkreuz kann beleuchtet werden. Ein eingebauter Flüssigkeitskompensator sorgt dafür, dass Vertikalwinkel auch dann präzise gemessen werden, wenn die Stehachse nicht exakt lotrecht steht. Horizontale und vertikale Winkel werden auf 0,0001 gon genau angezeigt. Damit sind unter realen Bedingungen Messungen mit einer Genauigkeit von ca. +- 0,0010 gon möglich.
Theodolite
Um dieses Experiment nachzuvollziehen, brauchen Sie keine Totalstation. Mit diesem Schultheodoliten wird man keine brauchbare Genauigkeit erzielen, aber er sollte helfen, das Prinzip zu verstehen.
Einen "richtigen" Theodoliten mit elektronischer Ablesung gibt es ab etwa 900 €.
Weit günstiger kommen Sie an einen Theodoliten im Gebrauchthandel. Da optisch-mechanische Instrumente, also ohne Entfernungsmesser und ohne elektronische Speicherung der Messwerte, im professionellen Einsatz so gut wie gar nicht mehr genutzt werden, landen sie in großer Zahl bei eBay. Sie bekommen dort sogar den legendären Wild T2 regelmäßig ab 300 €. Aber auch andere Fabrikate aus den 1940er bis 1990er Jahren sind für diesen Zweck geeignet, und Sie erwerben ein schönes Stück Technikgeschichte gleich mit.
Die Messung
Wie geht nun die Messung vor sich? Der Theodolit steht aufgebaut und horizontiert auf seinem Stativ. Die Sonne ist untergegangen, in der Dämmerung tauchen allmählich die ersten Sterne auf.
Den Mond oder die Planeten wollen wir nicht benutzen. Sie sind einfach nicht weit genug entfernt. Die zwei roten Linien (die gestrichelte und die durchgezogene) sind dadurch nicht exakt parallel zueinander. Das lässt sich zwar rechnerisch berücksichtigen, macht aber unnötig Arbeit und verschlechtert womöglich die Genauigkeit.
Jetzt bekommen wir es mit dem größten Nachteil des Theodoliten im Vergleich zum Sextanten zu tun: Bauartbedingt kann man Sterne, die höher als 30° über dem Horizont stehen, kaum beobachten. Wenn man das Fernrohr so hoch gekippt hat, ist einfach das Okular mit dem Auge nicht mehr zugänglich. Es gibt zwar auch Steilsichtprismen, mit denen man "um die Ecke" in das Okular hineinschauen kann, aber wer hat so etwas schon?
Um sich nicht auf die Unwägbarkeiten der Refraktion einzulassen, wird man Sterne unter 15° ebenfalls meiden. Für die Beobachtungen bleibt also nur der Streifen zwischen 15 und 30° über dem Horizont übrig.
Dabei ist es angebracht, sich auf die Navigationssterne zu beschränken. Praktisch alle hellen Sterne gehören dazu. Ihre Position kann man im Nautischen Jahrbuch nachschlagen oder mit jedem Navigationsprogramm berechnen.
Was mache ich, wenn ich Polaris nicht von Zuben-el-dschenubi unterscheiden kann? Ganz einfach: Ich benutze eine Sternkarte, so wie diese hier aus dem Nautischen Jahrbuch. Wer es etwas komfortabler haben möchte, greift zu einer drehbaren Sternkarte. Hat man Jahreszeit und Stunde richtig eingestellt, sieht man, welche Sterne jetzt wie hoch am Himmel stehen und in welcher Himmelsrichtung. Durch Vergleich des Sternhimmels mit der Karte lassen sich die Sterne ganz gut identifizieren.
Noch besser geht das mit einem Planetarium. Das gibt es auch als Software für den Rechner zu Hause, zum Beispiel das hervorragende, kostenlose Cartes du Ciel. Das Programm zeigt den Sternenhimmel von jedem beliebigen Ort an jedem Tag, zu jeder Stunde.
Damit habe ich sechs Navigationssterne herausgesucht, die im Laufe des Abends zwischen 15 und 30° über dem Horizont stehen. Möglichst sollen sie einigermaßen gleichmäßig über alle Himmelsrichtungen verteilt sein.
Ich stehe also schussbereit im Garten an meinem Theodoliten. Der erste Navigationsstern leuchtet hell und klar am südwestlichen Himmel. Ich sehe im Fernrohr bei 30-facher Vergrößerung, wie der Stern recht zügig seinem Untergang im Westen entgegenstrebt und dabei stetig sinkt. Ich muss also nichts weiter machen, als den Stern in die obere Hälfte des Fernrohrbildes zu bringen. Ich beobachte in aller Ruhe, wie er allmählich sinkt und dann für einen winzigen Moment hinter dem waagerechten Strich des Fadenkreuzes verschwindet. Das ist der Moment, der zählt! Ich stoppe die Zeit und lese die Zenitdistanz ab.
Da bei meinem Instrument eine Hälfte des Fadenkreuzes mit einem doppelten Faden ausgestattet ist, stoppe ich die Zeit sogar zwei Mal: Einmal, wenn der Stern durch den oberen Faden wandert, dann, wenn er wenige Sekunden später durch den unteren geht. Ich erhoffe mir davon eine Steigerung der Genauigkeit.
Was die Vermesser traditionell "Zenitdistanz" nennen, ist genau das, was wir oben in der Prinzipskizze zur Astronavigation "φ" genannt haben, also 90° - Höhe über dem Horizont.
Schon habe ich die erste Messung im Kasten.
Sie können das schwarze Fadenkreuz vor dem schwarzen Nachthimmel nicht sehen? An meinem Instrument habe ich eine elektrische Fadenkreuzbeleuchtung. Dadurch wird das Bild im Fernrohr etwas aufgehellt und das Fadenkreuz und der Stern sind wieder klar zu sehen. Hat man das nicht, kann man sich mit einer Taschenlampe behelfen. Man leuchtet vorsichtig schräg von vorne in das Objektiv hinein, schon geht's. Dasselbe gilt für die Ablesung der Zenitdistanz am Theodoliten. Bei alten, optisch-mechanischen Theodoliten wird das Tageslicht durch kleine Spiegel in das Innere des Instruments gelenkt, damit man die Teilkreise ablesen kann. Ist es dunkel, kann man auch einfach mit der Taschenlampe hineinleuchten.
Die erste Messung habe ich in "Fernrohrlage I" ausgeführt. Jetzt schlage ich das Fernrohr einmal durch, so dass jetzt das Objektiv zu mir zeigt. Dann wird der Theodolit um 180° gedreht. Jetzt zeigt das Fernrohr wieder zum Stern, aber jetzt in "Fernrohrlage II". Für präzise Messungen ist es wichtig, in beiden Fernrohrlagen zu messen und die Ergebnisse dann zu mitteln. Dadurch lassen sich bestimmte Instrumentenfehler eliminieren. Nur so kann die volle Genauigkeit des Instruments ausgeschöpft werden.
Daher führe ich die oben beschriebene Messung zu meinem Stern einmal in Fernrohrlage I, dann II durch. Und, um die Genauigkeit noch einmal zu steigern, messe ich anschließend nochmals in Lage II, dann in I.
Ich habe jetzt den Stern also vier Mal angemessen. Entsprechend habe ich vier Zenitdistanzen und (bei Messung am doppelten Faden) acht Zeiten notiert. Hört sich aufwendig an, ist aber für jeden Stern in weniger als zehn Minuten erledigt.
Das ganze Prozedere wiederhole ich natürlich für jeden meiner sechs Sterne.
Die Zeit
"Time keeps on slippin', slippin', slippin', into the future ...", und genau das ist das Problem. Ich sehe den Stern im Fernrohr, er nähert sich dem Fadenkreuz, jetzt steht er mittig hinterm Faden. Aber wie spät ist es jetzt gerade genau? Und zwar möglichst auf zehntel oder hundertstel Sekunden genau? Diese Frage ist gar nicht so leicht zu beantworten.
Damals, in Greenwich, haben wir mit einem Auge den Lauf des Sterns im Fernrohr verfolgt, während ein Ohr am Ticken der Präzisionspendeluhr hing. Im Moment der Messung haben wir versucht, die Zeit zwischen zwei Schläge der Pendeluhr einzuschätzen. Das funktioniert auf zehntel Sekunden genau, ist jedoch fehleranfällig und erfordert viel Übung.
Natürlich gibt es Funkuhren, die die Zeit ziemlich zuverlässig anzeigen, aber meist nur auf Sekunden genau. Und selbstverständlich gibt es Stoppuhren, die die Zeit auf hundertstel oder tausendstel Sekunden genau anzeigen und Zwischenzeiten präzise registrieren können, aber immer bezogen auf den Start der Messung. Ich brauche aber den exakten Zeitpunkt, bezogen auf die gesetzliche Zeit MEZ. Ich habe überall nach einer Stoppuhr gesucht, mit der ich Zeiten direkt in MEZ registrieren kann, und zwar mindestens auf hundertstel Sekunden. Ich bin aber nirgends fündig geworden. Haben Sie einen Tipp? Dann würde ich mich über einen Hinweis unten in den Kommentaren freuen.
Letztendlich habe ich mich einfach so beholfen: Vor Beginn der Messung habe ich die Stoppuhrapp auf meinem Android-Smartphone gestartet. Die Stoppuhr lief dann drei Stunden lang durch, bis ich alle sechs Sterne angemessen hatte. Die Durchgangszeiten der Sterne durch das Fadenkreuz habe ich als Zwischenzeiten registriert.
Die Systemzeit auf meinem Laptop habe ich mithilfe der Funktion "=JETZT()" in meiner Tabellenkalkulation LibreOffice Calc abgerufen. Mit der Taste "F9" wird das Feld aktualisiert. Dort steht jetzt also die exakte Zeit des Tastendrucks. Mit "kopieren" und "Inhalt einfügen" kann man auch hier Zeitpunkte bequem registrieren. Vor, während und nach der Messung habe ich die beiden Uhren mehrmals verglichen. Die Differenz zwischen Stoppuhrzeit und Systemzeit lässt sich damit recht zuverlässig ermitteln und anschließend berücksichtigen.
Das ist jedoch noch nicht alles: Wir müssen noch die Differenz zwischen Systemzeit und MEZ kennen. Dazu gibt es ein schönes Tool der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt in Braunschweig. Wenn Sie in der Uhr auf "Abweichung" klicken, sehen Sie die Differenz der Systemzeit zur gesetzlichen Zeit mit einer Genauigkeit besser als 20 Millisekunden. Ich nehme an, dass diese Auskunft trotz der unvermeidlichen Verzögerungen im Internet zuverlässig ist. Wenn wir diese Abweichung nun auch noch berücksichtigen, haben wir unsere Beobachtungszeiten endlich in MEZ bzw. - im Sommer - in MESZ.
Alle Navigation kommt aus Greenwich, und deshalb müssen alle Navigatoren in der Weltzeit, ehemals Greenwich Mean Time rechnen. Wir müssen also die Zeitzone wechseln. Wir ziehen einfach eine (im Sommer zwei) Stunden ab und erhalten die koordinierte Weltzeit UTC.
Die UTC ist eine gleichmäßig verlaufende Zeit, die man zum Beispiel mit Atomuhren messen kann. Damit ist sie leider für die Navigation nicht zu gebrauchen, denn:
(aus: Die Mundorgel)
Das Quietschen und Eiern führt dazu, dass die Erde im Laufe der Jahrzehnte zunehmend langsamer und dazu auch noch ungleichmäßig rotiert. Das bedeutet, dass der Navigationsstern eben nicht am festgelegten Ort zur vorausberechneten Sekunde im Zenit steht, sondern erst einige Millisekunden später. Daher verwenden wir nicht die UTC, sondern die UT1. Diese Zeit ist an die Erdrotation gebunden und damit genau das, was wir brauchen. Hin und wieder wird in die UTC eine Schaltsekunde eingefügt, damit sie sich nicht mehr als eine Sekunde von der UT1 entfernt.
Lohnt es sich überhaupt, sich wegen dieser einen Sekunde Gedanken zu machen? Selbstverständlich, denn (wie im Film): "Jede Sekunde zählt." Im Ernst: In europäischen Breiten entspricht eine Sekunde Erdrotation ungefähr 280 Metern. Da wir versuchen wollen, eine Genauigkeit von 100 Metern zu erreichen, müssen wir die Differenz zwischen UTC und UT1 also zwingend berücksichtigen.
Der Internationale Dienst für Erdrotation sorgt dafür, dass sich die Erde dreht, ohne allzu viel Eiern. Er hat auch die UT1 im Blick und veröffentlicht Daten wie diese:
Dem können wir also entnehmen, dass die Erdrotation (also die UT1) der UTC am 10.04.2020 um 0,235 Sekunden hinterherhinkte.
Damit ist das Thema "Zeit" endlich erledigt, und wir sind in der Lage, die mit dem Smartphone gestoppten Zeiten in Zeiten in UT1 umzurechnen. Zeit, mit der Berechnung der Position zu beginnen!
Die Berechnung
Die ganze Berechnung lässt sich recht übersichtlich in einer Tabelle darstellen. Ich habe sie in LibreOffice Calc aufgestellt, aber das funktioniert ebenso gut auch in Excel.
Wenn Sie die Berechnung nachvollziehen wollen: Hier können Sie sie herunterladen:
Und hier als PDF zum Ausdrucken:
Links oben geht es um die gestoppten Zeiten (Einzelheiten zum Verfahren siehe oben). Im Feld A3 steht die Funktion "=JETZT()", die nach jedem Drücken der F9-Taste die aktuelle Systemzeit bis hin zur Millisekunde zurückgibt. In der Spalte C stehen die Zeiten, die ich jeweils gleichzeitig auf der Stoppuhr abgelesen habe. In Spalte D zeigt sich, dass die Differenzen zwischen Stoppuhr und Systemzeit auf +- 60 Millisekunden genau gleich sind, wie es sein soll. Für die weitere Berechnung nehmen wir einfach den Mittelwert (in D23).
In Spalte E stehen die Differenzen zwischen der Systemzeit und der gesetzlichen Zeit, die mir die PTB in Braunschweig mitgeteilt hat, und zwar vor, während und nach der Messung. Auch hier rechne ich einfach mit dem Mittelwert in E23 weiter.
Im unteren Teil, ab Zeile 30, stehen die Messungen zu den sechs verwendeten Navigationssternen. Zu jedem Stern habe ich 4 Mal die Zenitdistanz gemessen, nämlich zwei Mal in Lage I und zwei Mal in Lage II. Bei jeder Messung ist der Stern durch die zwei Fäden im Fernrohr gewandert. Diese acht Zeitpunkte pro Stern habe ich mit der Stoppuhr festgehalten (Spalte B). Die Umrechnung der Stoppuhrzeit in UT1 passiert in den Spalten E-H. Die Einzelheiten dazu stehen oben im Abschnitt "Die Zeit".
In der Spalte I stehen die gemessenen Zenitdistanzen. Mein Instrument liefert diesen Wert, wie in der Vermessung üblich, in Gon. In Fernrohrlage I ergeben sich Werte von ungefähr 80 gon. Wird in Lage II gemessen, werden etwa 320 gon abgelesen, die dann noch in Spalte J in die Zenitdistanz umgerechnet werden müssen. In Spalte K schließlich wird das in die Höhe über dem Horizont umgerechnet, und zwar in Grad, wie es in der Navigation üblich ist.
Refraktion
An dieser Stelle müssen wir über Refraktion reden. Wie so oft, sind die Dinge nicht, wie sie scheinen, und die Sterne stehen nicht dort, wo wir sie sehen.
Der Lichtstrahl, der vom Stern kommt, durchläuft den Weltraum und dann zunehmend dichtere Teile der Atmosphäre. Dadurch wird er gebeugt.
Deshalb scheinen die Sterne immer höher am Himmel zu stehen, als sie tatsächlich sind. Dieser Effekt ist umso größer, je näher der Stern dem Horizont steht. In unserem Beobachtungsfenster, 15 bis 30° über dem Horizont, beträgt die Refraktion etwa 2-3 Bogenminuten. Und jede Minute kann einen Fehler der Position von einer Seemeile bewirken!
Wie können wir diese Fehler vermeiden? Wir wählen unsere sechs Navigationssterne so, dass alle ungefähr gleich hoch am Himmel stehen. Außerdem sollen sie möglichst gleichmäßig auf alle Himmelsrichtungen verteilt sein. Dann gleichen sich Fehler in der Refraktionsberechnung aus und verfälschen unsere Position nicht.
Die tatsächliche Refraktion ist von allerlei Unwägbarkeiten beeinflusst, zum Beispiel von der Temperatur der Luft in der Höhe. Trotzdem kann man versuchen, sie so gut wie möglich rechnerisch zu berücksichtigen. Wir verlassen uns auf Bennett:
Diese Berechnung kann man noch verfeinern, indem man den Luftdruck und die -temperatur am Boden berücksichtigt, Spalten L-N. Mit dieser berechneten Refraktion kann ich die gemessene Höhe des Sterns korrigieren und erhalte die "wahre" Höhe (Spalte O), die ich gemessen hätte, wenn wir auf einer Erde ohne Lufthülle lebten.
Ephemeriden
Wir wissen jetzt, zu welcher Zeit wir welchen Stern in welcher Höhe über dem Horizont gesehen haben. Doch wo auf der Erde stand dieser Stern zu diesem Zeitpunkt im Zenit? Wo war der Bildpunkt, den wir oben mit Z bezeichnet haben?
In der gewöhnlichen Navigation auf dem Ozean schauen wir jetzt in das Nautische Jahrbuch. Dort sind die Positionen der Navigationssterne vertafelt, aber, ach, nur auf zehntel Minuten genau! Da wir 100-Meter-Genauigkeit anstreben, müssen wir das schon ein bisschen genauer wissen.
Wir brauchen irgendeine Software, die uns die Position der Sterne so genau wie möglich berechnet. Ich habe die "Navigational Algorithms" von Andres Ruiz González aus dem spanischen Baskenland verwendet.
Rechts sehen Sie einen Screenshot aus dem Programmteil AstroNavigation. Im Reiter Sights kann man links das Datum, die Uhrzeit und den Namen des Himmelskörpers angeben. Auf der rechten Seite, im Abschnitt NAUTICAL ALMANAC erhält man das Ergebnis: GHA, den Greenwich Hour Angle und Dec, die Deklination.
Der GHA ist nichts anderes als die geografische Länge des Bildpunktes Z des Sterns, und zwar von Greenwich aus westwärts gemessen. Er kann also Werte von 0° bis 360° annehmen. Die Deklination ist die geografische Breite von Z. Sie bewegt sich also im Bereich von -90° bis +90°.
Die Navigational Algorithms liefern die Ephemeriden auf mindesten sechs Stellen nach dem Komma genau. Das ist, umgerechnet auf die Erdoberfläche, ungefähr Dezimetergenauigkeit. Damit lässt sich arbeiten!
Der Greenwich Hour Angle nimmt im Laufe eines Tages durch die Drehung der Erde gleichmäßig zu. Die Deklination eines Sterns ist, wenn wir von Zeiträumen bis zu einigen Stunden reden, konstant.
Es genügt daher, den GHA und die Dec. für zwei Zeitpunkte vor und nach den Messungen berechnen zu lassen und für Zeitpunkte dazwischen einfach linear zu interpolieren. Diese Berechnung steht in der Tabelle in den Spalten P bis T.
Damit kennen wir jetzt also nicht nur die gemessenen Höhen der Sterne über dem Horizont und die genauen Zeitpunkte der Messungen, sondern wir wissen auch, über welchem Punkt der Erde die Sterne zum Zeitpunkt der Messung gerade im Zenit standen.
Kleinste Quadrate
Wir haben nun alles zusammen, um endlich zur Lösung zu kommen und unsere Position auf der Erde zu bestimmen. Wir kennen die Bildpunkte Z für jede einzelne Messung. Um Z können wir die Kreise der O' schlagen. Ich habe sechs Sterne jeweils vier mal beobachtet. Ich kann also 24 Kreise schlagen, die sich theoretisch alle in einem einzigen Punkt, meinem Standpunkt, schneiden werden.
Doch grau, teurer Freund, ist alle Theorie. Denn unsere Messungen sind, so sorgfältig sie auch ausgeführt sind, mit unvermeidlichen Fehlern behaftet. Wer kann denn schon den Durchgang auf die Millisekunde genau messen, wenn der in der Luftunruhe wabernde Stern allmählich hinter dem Fadenkreuz verschwindet und dann auf der anderen Seite allmählich wieder auftaucht? Wer kann schon garantieren, dass in der gemessenen Zenitdistanz auch die vierte Nachkommastelle noch stimmt, wenn schon die Abkühlung der Nachtluft zu Variationen des Höhenindexfehlers von 0,0020 Gon führt? Diese kleinen Fehler genügen, dass sich die 24 Kreise nicht in einem einzigen Punkt schneiden, sondern, aus der Nähe besehen, in einem unentwirrbaren Knäuel.
Was tun? Wo in diesem Knäuel von Linien ist meine wahre, oder doch zumindest meine wahrscheinlichste Position?
Auf See löst man dieses Problem, indem man den grünen Leuchtstift nimmt und ungefähr im Schwerpunkt der sich kreuzenden Linien einen dicken Punkt in die Seekarte macht. Wenn es auf eine Meile nicht ankommt und ich nur den Weg nach Amerika finden will, genügt das.
Aber wir wollen ja 100-Meter-Genauigkeit erreichen. Hätte ich nur zwei Sterne angemessen, wäre die Lösung leicht, da sich die zwei Kreise nur in zwei Punkten schneiden. So jedoch habe ich eindeutig zu viele Informationen.
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Zum Glück fiel dem großen Carl Friedrich Gauß schon vor über 200 Jahren ein, wie man überbestimmte Probleme wie dieses eindeutig und elegant lösen kann.
Das Prinzip der Methode der kleinsten Quadrate geht so: Ich denke mir eine potentielle Lösung meines Problems aus, hier also die (geschätzten, geratenen ...) geografischen Koordinaten meines Beobachtungsortes. Dann rechne ich aus, welche Sternhöhen ich zum Beobachtungszeitpunkt von diesem Ort aus theoretisch hätte beobachten müssen. Ich vergleiche sie mit den tatsächlich gemessenen Sternhöhen. Die kleinen Differenzen nenne ich v wie in Verbesserung.
Von allen Beobachtungen bilde ich das Quadrat, also v². Ich summiere sie auf zu Sv². Jetzt variiere ich die (geschätzten, geratenen ...) Koordinaten meines Beobachtungsortes so lange, bis ich den Ort finde, für den Sv² minimal wird. Fertig!
Für alle, die es ganz genau wissen wollen: Hier steht, wie's geht!
Ich habe es mir einfach gemacht, und die Lösung dem in Calc eingebauten Solver überlassen. Die Zielzelle ist natürlich die X29. Dort steht das Sv², das minimiert wird. Die veränderbaren Zellen sind S und T29. Dort steht die Breite und Länge des Beobachtungsorts, also genau die Werte, für die der Solver eine optimale Lösung finden soll. Die Nebenbedingungen ergeben sich einfach daraus, dass wir eine Position zwischen Südpol und Nordpol, also in einer Breite zwischen -90 und +90° suchen. Entsprechend kommen für die Länge Werte zwischen -180 und +180° in Betracht. Der Solver findet zuverlässig die optimale Lösung, unabhängig von den Näherungskoordinaten, mit denen man die Rechnung beginnt.
Auf der Kugel
Der Solver spuckt für unseren Beobachtungsort eine Breite von 52,3591° N und eine Länge von 12,9041° E aus (Zellen S und T29). Die Verbesserungen v bleiben alle unter 0,0100° und bewegen sich damit im Rahmen dessen, was man erwarten würde (Spalte W). Der Vergleich mit den "wahren" (sprich: mit einem zentimetergenauen GPS ermittelten Koordinaten) beträgt nur 0,0010° in der Breite und 0,0003° in der Länge. Damit ist der durch astronomische Ortsbestimmung ermittelte Ort nur etwa 119 Meter vom wahren Ort entfernt (Zellen R80 - U82).
Wir haben unser Ziel, 100-Meter-Genauigkeit zu erreichen, also fast erreicht. Normalerweise könnten wir an dieser Stelle jetzt Feierabend machen.
Aber wir erinnern uns, dass wir in der ganzen Berechnung so getan haben, als sei die Erde eine Kugel. Auf der Kugel sind Länge und Breite ganz einfach definiert als zwei Winkel, die im Erdmittelpunkt gemessen werden.
Wir wissen aber, dass die Erde tatsächlich keine Kugel ist.
Also weiter!
Auf dem Ellipsoid
Die Erde rotiert, und weil sie ein ziemlich schwabbeliger Körper ist, verformt sie sich dadurch zu einem Rotationsellipsoid.
Was bedeutet das für die geografischen Koordinaten?
Für die Länge macht das keine Schwierigkeiten: Sie wird weiterhin, wie bei der Kugel, im Erdmittelpunkt und in der Äquatorebene gemessen.
Für die Breite ist es anders: Die ellipsoidische Breite wird nicht im Erdmittelpunkt gemessen. Vielmehr ist sie der Winkel zwischen der Ellipsoidnormalen im Standpunkt und der Äquatorebene. Hier im Bild ist sie mit "B" bezeichnet.
Diese Definition ist genial, denn daraus folgt: In der ellipsoidischen Breite B stehen für mich die gleichen Sterne im Zenit wie in der Breite B auf der Kugel. Oder, mit anderen Worten: Ich kann die oben auf der Kugel berechneten Werte für Breite und Länge ohne weitere Umrechnung auf das Ellipsoid übernehmen.
Auf dem Geoid
Eine letzte Schwierigkeit ist noch zu bewältigen: Unten ist nicht da, wo es zu sein scheint.
Bei der Messung mit einem Theodoliten oder einem anderen Instrument stellen wir es "lotrecht" auf. Die Lotrichtung gibt uns dabei im einfachsten Fall ein einfaches Schnurlot vor. Tatsächlich verwenden wir empfindlichere Sensoren, wie Röhrenlibellen, elektronische Libellen oder Quecksilberhorizonte.
Die Hoffnung ist dabei, dass die Lotrichtung identisch mit der Ellipsoidnormalen ist. Wenn die Erde eine völlig homogene Masseverteilung ohne Berge und Täler hätte, wäre das auch der Fall.
Aber leider: Große Massen wie ein Gebirge, dass sich vor mir auftürmt, ziehen mein Schnurlot durch ihre Gravitation an. Umgekehrte Wirkung haben Massedefizite durch große Täler oder unterirdische Salzstöcke. Es kommt zur Lotabweichung.
Die Lotabweichung hat einen äußerst bösartigen Effekt: Ihre Nord-Süd-Komponente spiegelt mir vor, meine ellipsoidische Breite sei nicht B, sondern B'. Die West-Ost-Komponente hat eine entsprechende Auswirkung auf die Länge.
Wir wollen deshalb wissen, wie groß die Lotabweichung an unserem Standort ist, um sie rechnerisch berücksichtigen zu können.
Naturgemäß haben wir keine Möglichkeit, gleichzeitig unseren Standpunkt und die örtliche Lotabweichung zu bestimmen. Aber die Landesvermessungsbehörden haben freundlicherweise für uns deutschlandweit ein präzises Geoid bestimmt.
Das Geoid ist definitionsgemäß eine Fläche, die überall senkrecht auf der lokalen wahren Lotrichtung steht (siehe Bild oben).
Die Karte rechts gibt an, wie viele Meter sich das Geoid über dem Ellipsoid befindet. Am Verlauf der Höhenlinien erkennt man, dass das Lot bei uns (südwestlich von Berlin) geringfügig nach SSW abgelenkt wird.
Die genauen Zahlenwerte der Geoidhöhen lassen sich zum Beispiel mit diesem Onlinetool ermitteln. Man kann das zum Beispiel für vier Punkte machen, die sich jeweils fünf Kilometer nördlich, südlich, westlich und östlich des Beobachtungsortes befinden. Aus den Differenzen lässt sich leicht die lokale Neigung des Geoids gegenüber dem Ellipsoid bestimmen.
Für meinen Standort sind das -0,286 Meter/10km in Nordrichtung und +0,148 Meter/10km in Westrichtung. Das entspricht einer Lotabweichung von -0,0016° in Nordrichtung und +0,0008° in Westrichtung.
Diese Lotabweichung in Nordrichtung ist gleichzeitig die Korrektur, die an die zuvor ermittelte ellipsoidische Breite angebracht werden muss. Mit der Lotabweichung in Westrichtung ist es ähnlich, nur dass hier zusätzlich die Abweitung der Meridiane berücksichtigt werden muss. Die Lotabweichung von 0,0008° in Westrichtung führt daher zu einer Korrektur im Längengrad um 0,0014°. Die Berechnung hierzu befindet sich in der Tabelle in den Zellen P83 - U91.
Hier ist es also nun, das endgültige Ergebnis, unter Berücksichtigung aller berechenbarer Einflüsse:
52,3574° N, 12,9027° E.
Geschafft!
Mit diesen Koordinaten befinden wir uns rund 134 Meter vom tatsächlichen Standpunkt entfernt, nämlich 66 m zu weit südlich und 117 m zu weit im Westen.
Fazit
Also: Was lernt uns das?
Zunächst fällt auf, dass die Berücksichtigung der Lotabweichung das Ergebnis scheinbar nicht verbessert, sondern verschlechtert hat: von 119 Meter Ablage auf 134 Meter. Manchmal ist es also besser, nicht ganz so sorgfältig zu arbeiten.
Trotzdem ist das Ergebnis, wie ich finde, ganz respektabel. Vor allem ist diese Abweichung klein im Verhältnis zu den Verbesserungen v, die wir an die Beobachtungen angebracht haben (in der Tabelle in Spalte W). Sie betragen bis zu 0,0082°, was auf der Erdoberfläche über 900 Meter entspricht. Das schlägt sich auch in der Karte oben nieder. Die Kreise der O' schneiden sich nicht, wie in der Theorie, in einem einzigen Punkt, sondern in einem Knäuel von etlichen hundert Metern Größe.
Dabei ist jedoch zu berücksichtigen, dass die Verbesserungen noch systematische Fehler enthalten. So gibt es systematische Unterschiede zwischen den Messungen in erster und zweiter Fernrohrlage von ca. 0,0060° (siehe Tabelle Spalten Y - AA). Diese Unterschiede entstehen durch den Höhenindexfehler des Instruments. Durch die Messung in zwei Fernrohrlagen und anschließende Mittelung wird dieser Fehler vollständig eliminiert.
Weiterhin ist damit zu rechnen, dass die berechnete Refraktion systematisch falsch ist. Sie ließe sich ja nur dann exakt berechnen, wenn die Temperaturschichtung der Atmosphäre in allen Höhen bekannt wäre. Hinzu kommt, dass bauartbedingt mit einem Theodolit nur niedrig stehende Sterne ohne weiteres beobachtet werden können. Entsprechend groß ist die Refraktion und ihre Unsicherheit. Ein Zenitokular würde es ermöglichen, auch hoch stehende Sterne zu beobachten und diese Fehlerquelle zu minimieren. Einstweilen wählen wir die Navigationssterne so aus, dass sie möglichst gleichmäßig über den gesamten Horizont verteilt sind. Eventuell systematisch falsche Höhen durch Fehler in der Refraktion heben sich dann gegenseitig auf.
Es fällt auf, dass die berechnete Position 117 Meter zu weit westlich liegt. Habe ich bei der Registrierung der Sterndurchgänge etwa systematisch zu spät auf den Knopf für die Zeitregistrierung gedrückt? Die 117 Meter entsprechen auf unserer Breite etwa 0,4 Sekunden Erdrotation. Tatsächlich ist dieses Phänomen als "Persönliche Gleichung" wohlbekannt. Es dauert einfach eine gewisse Zeit, bis der Beobachter erkennt, dass der Stern genau jetzt mittig hinter dem Faden steht, der Entschluss reift, jetzt die Zeit zu registrieren und die Hand die Stoppuhr tatsächlich betätigt. Der Fehler ist schwer zu bekämpfen. Etwas Übung vor der entscheidenden Messung könnte helfen. Vielleicht bringt auch die Auge-Ohr-Methode bessere Ergebnisse?
Und was hat der ganze Aufwand jetzt gebracht? Jeder kann heutzutage mit seinem Smartphone seine Position in ein paar Sekunden metergenau bestimmen. Aber manchmal tut es auch gut, den Blick vom Display zu lösen, zu den Sternen zu schauen und zu verstehen, wie die Welt wirklich funktioniert, denn "Leben ist lernen".
Mir hat dieses Experiment jedenfalls Spaß gemacht. Haben Sie ein ähnliches unternommen? Welche Genauigkeit haben Sie erreicht? Haben Sie in meiner Rechnung einen Fehler gefunden? Habe ich etwas falsch oder unklar dargestellt? Dann schicken Sie mir einen Kommentar. Ich würde mich freuen!
